长寿是上帝对人的惩罚吗?它到底是福还是祸?

01 宋美龄年满100岁后,总在重复一句话:“我的姐妹们死了,我的兄弟们死了,我不知道上帝为什么把我留下”。

她这一生送走父母,丈夫,兄弟姐妹,外甥,侄子,继子,孙辈们。

当一次次噩耗传来,她就会陷入痛苦,难过之后,她会虔诚地向上帝祷告,等待上帝对她的召唤。这时候寿命太长对她来说,是一种折磨。

自蒋介石去世后,定居纽约的宋美龄,晚年头脑依旧清醒,寂寞让她越来越沉默,坐在轮椅上很少说话,常常陷入沉思。

当她重复那句话时,没人能够答得上来,也不敢回答,于是,她只有自问自答:“也许这是上帝对我的惩罚”。

02“喝水不,娘来了”,当100岁的老人,来到70多岁奄奄一息,即将离世的女儿面前。

百岁老人身强体健,而病塌上的女儿,已神志不清痛苦地呻吟着。老人一只手握着女儿的手,另一只手摸着她的脸颊。

“娘来了,看看你,娘来了……”老人一遍又一遍地安慰着自已的女儿。

2020年2月,视頻里这对母女的深情,让我感动得涕泪交加。

人世间最大的痛,就是白发人送黑发人。父母儿女缘分再深,终有离别的那一天。

03 我的大娘91岁那年,大哥大病了一场,经过抢救捡回一条命。看着颤颤巍巍的大儿子,大娘愁容不展,心事重重。

有一天,她对小女儿说:“你哥都这样了,我活着干嘛,该走了”。小女儿劝她:“妈,别瞎想,您这好的身体,活一百岁没问題”。

一个月后的清晨,我小哥走进大妈的卧室,唤她起床过早,她答应了一声。小哥自顾自忙去了。等他想起了大妈,再次来到卧室,竟发现她安详地走了。

大妈是个有福的人,儿女都孝顺,自已身体好,活着没受罪,也如愿以偿地走在儿女前面。

父母是挡在儿女与死神之间的一堵墙,只要父母在,子女就有港湾,可以继续天真还有人疼。

04庄子言:“富则多事,寿则多辱。”

长寿本是人生之福,如果是疾病缠身,死又死不了,活着不光磨后辈,自已还遭罪。特別是瘫瘓在床,不能自理要人伺候,无疑是生不如死,失去做人的尊严。

有的老人很长寿,身体也很健康,看到儿女或后辈身体不好,活得也是惴惴不安,就怕白发人送黑发人。

生存和死亡,是大自然的规律,不应该死的时候不应求死,必须要你死的时候,贪生也没有用。

寿命自有天注定,人生最好是顺其自然,多思真无益,开心过好每一天。

友友们:觉得长寿是福还是祸呢?

(图片择自网络,侵权即删)

爱因斯坦不是左撇子,上帝才是

2021年4月18日是爱因斯坦(Albert Einstein,1879.3.14—1955.4.18)逝世66周年纪念日。爱因斯坦是历史上最伟大的科学家之一,关于他有着许多真假难辨的故事。其中一个广为流传的说法称,爱因斯坦是左撇子。

然而,现有的大量照片和影像表明,爱因斯坦更习惯使用右手。

1921年,爱因斯坦在维也纳,图源:维基百科

爱因斯坦在黑板上写下广义相对论中的一个公式,图源:Holden Luntz Gallery

爱因斯坦拉小提琴,图源:theconversation.com

以上三张爱因斯坦的照片中,都包含了一些文字,据此可以看出照片并未经过翻转。正如我们从日常经验中所知,如果把照片翻转一下,左右就会颠倒。在今年的春节晚会里,有一个小品《一波三折》,其中就有这样的情节:

然而,大自然不是照片。在自然界中,要实现左右颠倒,并没有那么容易。上帝对左右是有偏好的。 (本文中的“上帝”指的是爱因斯坦所说的“斯宾诺莎的那个在存在事物的有秩序的和谐中显现出来的上帝”,即自然规律。)我们今天要讲的,就是几何学上的左右颠倒,以及大自然对左右的偏爱。

左手系和右手系

在亚瑟·克拉克(Arthur Clarke,1917—2008)1950年发表的短篇小说《技术故障》中,一位不幸的工程师在一次实验事故中身体出现了左右颠倒。左手变成右手,右手变成左手。在这个故事里,导致左右颠倒的原因是在四维空间里的翻转。 他停顿片刻,等这些话渗进他们的脑子里,没有人提出疑义,他便继续讲下去:

“现在,如果我把一个三角形拿起来,在空中翻个个儿再放下,他们俩就不再是镜面对称了,而是成为了完全一致——像这样。”他演示了一遍,“这种方法似乎非常简单,确实如此。但是它却给我们上了至关重要的一课。桌上的三角形是限制在二维空间的平面图形,要是一个变成另一个的镜像,我必须拿起它,在第三维中旋转。明白我的意思吗?”  

他环视一下众人。一两个董事脸上透出第一线领悟的曙光,迟疑着点了点头。

“同样道理,为了让一个三维物体,例如一个人,变成他的相对物即镜像,就得把他在第四维空间中翻转。重复一下——第四维空间。”

——亚瑟·克拉克短篇小说《技术故障》节选,朱丽 译

怎么理解这一现象呢?我们得从坐标系的左右讲起。首先看一条水平直线。我们在上面放一个朝右的箭头。如果箭头只限制在这条直线里移动,那么它永远是指向右方。但如果我们在平面上把箭头旋转180°,它就会变成指向左方。

在二维平面的笛卡尔坐标系中,x轴和y轴垂直。我们通常让x轴指向右方,y轴指向上方。这就是“右手坐标系 ”或者简称“右手系 ”,初中数学课里学到过。

但也可以让x轴指向左方,y轴指向上方,这就是“左手坐标系 ”或者简称“左手系 ”。左手系可以看作是右手系的镜像。

实际运用时,我们经常会让坐标系旋转,这样x轴不一定指向右方,y轴也不一定指向上方。这种情况下可以用“右手定则 ”来定义右手系和左手系:让右手大拇指垂直于平面,其余四指从x轴旋转90°到y轴,如果这一过程中大拇指朝向观察者所在的一侧,那么这个坐标系就是右手系。反之则是左手系。

右手定则

可以看出,如果开始的坐标系是右手系,把x轴和y轴互换,就得到左手系。这是因为我们四指旋转的方向是从x轴到y轴,x轴和y轴互换后四指旋转的方向发生改变。

另外一种把右手系变成左手系的方法是把x轴和y轴中任意一个的方向改成与原来相反的方向。但如果同时改变两个轴的指向,得到的还是右手系。

我们可以把右手坐标系想象成两个互相垂直的箭头。如果只是限制在平面内部平移或者旋转,右手坐标系永远都还是右手坐标系,不会变成左手坐标系。

但如果在三维空间里绕着y轴旋转180°,右手系就会变成左手系。

为了理解这个过程,我们可以看到,y轴在这个过程中是不改变的。旋转180°后,仅仅是x轴的指向变成了原来相反的方向。 正如我们前面所说,因为x轴的方向变成与原来相反,所以得到左手系。在三维空间里也有左手系和右手系之分。我们伸出右手的大拇指、食指、中指,让它们互相垂直。让x轴的方向跟大拇指重合,y轴的方向跟食指重合,如果这时z轴的方向跟中指重合,那么这个坐标系就是右手坐标系。高中数学课本里采用的就是右手系。同样地,可以用左手的三个指头来定义左手坐标系。

图源:www.oreilly.com

另外一种判断右手系的办法是右手定则:除大拇指外的右手四指从x轴旋转90°到y轴,如果这一过程中大拇指的指向是z轴的方向,那么就是右手系。

类似于平面坐标系,把任何两个坐标轴互换后,右手系变成左手系。同样地,把x轴、y轴、z轴中任意一个的方向改成与原来相反的方向,那么就得到左手系。但如果同时改变两个轴的指向,得到的还是右手系。读者可以想一想,同时改变三个轴的指向会得到左手系还是右手系呢?

对于三维空间里的右手系来说,如果只限制在三维空间里平移或者旋转,右手系永远是右手系;但如果能够在四维空间里旋转180°,右手系就会变成左手系。我们可以这样看:在四维空间中,多了一个新的坐标轴w轴。把三维的坐标系围绕着xy平面旋转180° ,x轴和y轴在这个过程中都不改变,仅仅是z轴在zw平面里旋转到了跟原来相反的方向。 所以右手系变成左手系。

图中z轴和w轴在旋转过程中使用虚线表示,因为它们此时在三维空间中不可见

在克拉克小说《技术故障》里,因为实验事故,工程师的身体在四维空间里被翻转了,左手系和右手系互换,自然就出现左右颠倒的现象。

流形与定向

科幻小说里,还有另外一种左右颠倒的场景。上世纪九十年代,笔者是《科幻世界》的忠实读者。当时笔者非常喜欢绿杨老师写的“鲁文基探案”系列,其中主角是鲁文基教授和他的助手梅丽,每篇故事都是用科学知识侦破一个小小的案件。这一系列的首篇是《鸟巢里的笑声》,里面的核心科学内容是一位宇航员帕凯,到宇宙深处旅行一圈回来后,身体出现了左右颠倒。

科幻小说作家绿杨,本名李钜康,1934—2010,图源:飞腾科幻军团

梅丽说:“警察在追捕一个人,又和你一模一样,左边也有颗金牙。你还有什么说的?”  “那不是我!我金牙在右边。”帕凯把手指伸进嘴里一摸,咦了一声,金牙的确在左边!帕凯自己也糊涂了。但是,教授也开始糊涂起来,证件上明明白白写着在右边,怎么跑到左边去了呢?愣了半天才说:“小梅,他也许不是逃犯。他在宇宙空间绕行过一圈,的确可以出现这种左手系和右手系的相互转换。”  “什么转换?”  “整个人左面和右面反转过来,像照像底片一样。不过我没法证明他刚才说的通过时空转换到达M星是不是真话。要是真的那就对了。”  “这个我有办法验证!”梅丽飞快地打开药柜取出副听诊器按在帕凯胸前来回听,“心脏在右边胸膛里!他的内脏也旋转了180度!” ——绿杨,《鸟巢里的笑声》节选,《科幻世界》1993年第8期这一科学设定不是绿杨老师独创的,笔者看过不止一次。跟克拉克的设定不同,这里没有出现四维空间。那么,这一设定是可能的吗?从数学上来说,旅行一圈后左右颠倒是可能的。为了说明这一点,最简单的例子就是著名的莫比乌斯带 。这一几何对象是由德国数学家莫比乌斯(August Ferdinand Möbius,1790—1868)发现的。把一条长方形纸带的两端粘起来,有两种办法。最自然的粘法得到的曲面叫做平环 (annulus)。

把纸带粘成平环

把一端拧半圈再粘起来,得到的曲面就是莫比乌斯带。

把纸带粘成莫比乌斯带

通常科普文章里说到莫比乌斯带,都会强调它只有一面。其实莫比乌斯带还有一个更本质的特点:假设有一个二维生物生活在莫比乌斯带上,我们就可以看到,在沿着莫比乌斯带旅行一圈后,它的左右发生了颠倒。

仔细想象一下这个二维生物的视角,我们会发现《技术故障》里有一个细节比《鸟巢里的笑声》更准确。那就是,从这些左右颠倒的人的角度来看,并不是自己的身体发生了左右颠倒,而是除了自己以外的整个世界发生了左右颠倒 。“错的不是我,是这个世界!”

图源:腾讯新闻

“我正要离开,奈尔森又说:‘哦,差点忘了,我想我跌倒时一定是压在右胳膊上了,好像手腕扭伤了。’‘让我瞧瞧,’我说着,弯腰抬起他的右臂,‘不,是这一只胳膊。’奈尔森抬起他的左臂。我还是迎合他,说:‘随你怎么叫它们都行。但你刚才说的是你的右胳膊,不是吗?”  奈尔森似乎一时摸不着头脑。‘那又怎样?’他说,‘这就是我的右胳膊,我的眼睛可能出毛病了,但这是右胳膊,毫无疑问。我的结婚戒指可以作证,五年来我想尽办法都没能把这该死的玩艺摘下来。’  这大大的动摇了我的看法。因为,你知道,他所抬起的是他的左臂,而结婚戒指戴在他的左手上。看得出他没撒谎。

——亚瑟·克拉克短篇小说《技术故障》节选,朱丽 译

梅丽说:“警察在追捕一个人,又和你一模一样,左边也有颗金牙。你还有什么说的?”  “那不是我!我金牙在右边。”帕凯把手指伸进嘴里一摸,咦了一声,金牙的确在左边!帕凯自己也糊涂了。

——绿杨,《鸟巢里的笑声》节选,《科幻世界》1993年第8期事实上,我们再来看看这个在莫比乌斯带上旅行一圈的二维生物。对于它来说,在旅行过程中并没有一个时刻发生了什么特别的事情让左右颠倒。它的右手一直是右手,不会突然变成左手。当它回到起始点时,它看到的是一个左右颠倒的世界。

如果一个曲面上有一条闭合的路径,使得沿着这条路径走一圈后,二维生物的左右会发生颠倒,那么这个曲面就是一个不可定向曲面 。莫比乌斯带是最简单的不可定向曲面。克莱因瓶 是另外一个著名的不可定向曲面,它是德国数学家克莱因(Felix Klein,1849—1925)发现的。设想取一个纸筒,把纸筒两端粘起来,最自然的粘法可以得到一个形如轮胎表面的曲面,数学里叫做环面(torus)。

但我们还可以用另外一种方式粘起来,得到克莱因瓶。

视频作者:Konrad Polthier

三维空间里的克莱因瓶一定会有自相交,但我们可以把克莱因瓶放到高维空间里,使得它没有自相交。

Acme Klein Bottle制造的玻璃克莱因瓶

有不可定向的曲面,就有可定向的曲面。球面、环面等等曲面就是可定向的曲面。在可定向曲面里,二维生物无论怎么走,回到出发点后都不会发生左右颠倒。2020年阿里巴巴全球数学竞赛 决赛的一道题目涉及到可定向曲面和不可定向曲面。其中=的情形就是关于克莱因瓶到环面的连续映射。

曲面是二维的,我们常见的直线和圆周则是一维的。推广到任意维数,可以在一类叫做“流形”的几何对象上考虑定向。流形 (manifold)是现代数学里的一个基本概念。包括直线和圆周在内的曲线都是一维流形 。它们的特点是,把其上任何一点的局部放大后,都跟直线非常接近。

曲面则是二维流形 。把任何一点的局部放大后,都跟平面非常接近。

举个例子,地球的表面是球面,是二维流形。从日常生活的尺度来看,大地是平坦的。所以地平说至今仍有很多人相信。

图源:Claus Lunau/Science Photo Library

三维流形 则可以想象为不同形状的宇宙。不可定向的三维流形是这样的一种宇宙,旅行者在其中沿着某条路径走一圈后会发生左右颠倒。 最简单的不可定向三维流形是莫比乌斯带和一条线段的笛卡尔积。这个流形的边界是克莱因瓶,可以看作是把克莱因瓶“填满”,所以被称作实心克莱因瓶对于不可定向流形来说,“左”和“右”只在局部上有意义,在整体上没有意义。 怎么理解这句话呢?还是回到《鸟巢里的笑声》的场景。如果宇航员只生活在地球附近,比如说永远不离开太阳系,那么左右就不会颠倒。可是一旦他沿着某一条路径到宇宙深处旅行一圈回来,左右就会发生颠倒。在这个设定的宇宙里,“左”和“右”就没有什么不同。如果我们把右手系的两个坐标轴绕着莫比乌斯带走一圈,就得到左手系。

莫比乌斯带

类似于莫比乌斯带,在三维不可定向流形里沿着某条路径走一圈后右手系会变成左手系。正如我们前面所说,在不可定向流形里,左手系和右手系只在局部上有意义,在整体上没有意义。可定向流形就不一样了,在整体的意义上仍然有左手系和右手系。如果我们取定其中一类坐标系,我们就取定了这个流形的一个“定向 ”。每一个可定向流形都有两种不同的定向,对应着左手系和右手系。

球面上的左手系和右手系

宇称不守恒

那么,科幻小说里这样的场景真的可能发生吗?在四维空间翻转导致左右颠倒,或者在宇宙中旅行一圈后左右颠倒?我们已经说过,数学上这是可能的。但是,物理上这或许不会发生,因为对于物理定律来说,左和右是有区别的。在自然界中有四种基本力:电磁力、弱相互作用、强相互作用、万有引力。1956年,李政道(1926— )和杨振宁(1922— )提出了弱相互作用中的宇称不守恒定律 ,其大致含义是,在弱相互作用里左和右是不一样的。另外一种表述是,一个真实的物理过程,它在镜子里的像可以不符合物理定律。宇称不守恒定律是对物理学家固有观念的重大冲击,以至于泡利(Wolfgang Pauli,1900—1958)说:“我不相信上帝是一个弱的左撇子 ”。(据说杨振宁幼年是左撇子,后来被其母纠正,见 刘钝、王浩强访问整理,《爱因斯坦、物理学和人生——杨振宁先生访谈录》。)1957年,吴健雄(1912—1997)等人用实验证实了这一定律,李政道和杨振宁因此获得当年的诺贝尔物理学奖。

李政道与杨振宁在普林斯顿高等研究院,图源:普林斯顿高等研究院

2021年2月11日,美国邮政署在中国农历除夕发行的吴健雄纪念邮票,图源:USPS

宇称不守恒定律告诉我们,左与右是不对等的,所以左右颠倒很可能不会在现实中发生。克拉克小说《技术故障》里,宇宙空间是高维的,可以通过在四维空间中的翻转来实现左右颠倒。在现代物理的弦理论里,宇宙时空正是高维的。除了通常的四维时空外,还有额外维度。但是,弦理论尚未被实验证实。即便依照弦理论,这些额外维度也是蜷缩在非常小的尺度里,不足以让人通过这些额外维度来翻转。如果宇宙的形状是一个不可定向流形,那么沿着某条路径走一圈后右手系会变成左手系。这样一来,左和右就没有区别了,似乎跟宇称不守恒定律矛盾。然而,这个论证或许并不正确,因为这条路径可能非常之长,或许以百亿光年计,甚至会超过可观测宇宙的直径。爱因斯坦的相对论告诉我们,任何信号的传播速度都不能超过光速。如果这条路径太长,以至于光沿着它走一圈需要的时间超过宇宙的年龄,那么宇称不守恒定律或许并不会带来矛盾,也不会有一个宇航员能够完成导致左右颠倒的旅程。当然这一观点很大程度上只是笔者的外行看法,希望有方家指正。

刘易斯·卡罗尔,图源:维基百科

不可定向的宇宙被称为“爱丽丝宇宙”。这个名字来源于数学家查尔斯·道奇森(Charles Dodgson,1800—1868)以刘易斯·卡罗尔(Lewis Carroll)为笔名所著的儿童文学作品《爱丽丝镜中奇遇记》。爱丽丝宇宙仅仅是一个理论上的假设,没有任何观测证据表明宇宙有非平凡的拓扑,更不必说宇宙不可定向。 至于爱丽丝宇宙是否有可能存在,这是一个尚存争议的问题。我们或许永远也无法得知答案。

杨振宁与米尔斯(Robert Mills,1927—1999),图源:American Institute of Physics

描述弱相互作用的物理学理论是规范群为SU(2)的杨-米尔斯规范场论。上世纪八十年代,英国数学家唐纳森(Simon Donaldson,1957— )用杨-米尔斯规范场论来研究可定向四维流形的微分拓扑,获得了一系列令人惊异的结果。在唐纳森理论里,对每一个可定向四维流形都要预先选好一个定向,然后才能加以研究。如果把定向改变,流形在唐纳森理论下的性质也会有剧烈的变化。换句话说,在唐纳森理论里面,左和右也是不一样的。

唐纳森在1986年4月的一次会议上 图源:Who's That Mathematician? Paul R. Halmos Collection

对映异构体

如果左右真的颠倒,不光是物理上会有宇称不守恒的问题,化学上也会出麻烦。许多化学分子有“手性 ”,也就是说,这个分子跟自己的镜像不能通过转动而重合,就像人的左手和右手不能通过转动而重合一样。如果两个分子互为镜像,它们就被称为“对映异构体 ”(enantiomer)。

互为镜像的分子,图源:A Look at Enantiomers and their role in Drugs and Perfumes,Prior Scientific

对于有手性的分子来说,它与它的对映异构体在自然界中起到的作用并不一定相同。例如地球上生物的氨基酸分子都是左旋(L,拉丁语laevus)的,而糖分子都是右旋(D,拉丁语dexter)的。在实验室里可以合成出右旋氨基酸和左旋糖分子,但它们无法被生物体利用。如果真有一个宇航员在宇宙中旅行一圈后左右颠倒,那么他就无法吸收地球上食物中的营养物质。

左旋丙氨酸分子和右旋丙氨酸分子图源:biochemistry-defining-life-at-the-molecular-level

右旋葡萄糖分子和左旋葡萄糖分子,图源:www. chemicalbook.com

在克拉克小说《技术故障》里,工程师的左右颠倒以后,他就再也不能吸收食物里的某些分子。这导致了随后进一步的悲剧。而这一点在《鸟巢里的笑声》一文中被忽略了。 “同分异构体具有几乎一模一样的化学成分,”他继续,“但是它们之间也有些细微的差异。山得森医生告诉我,在过去几年中人们已经发现,某些基本食物,包括凡登伯格教授发现的新型维生素,其营养成分和作用取决于它们原子的空间排列。换句话说,先生们,对生物体来说,某种左旋化合物可能是构成生命的基本要素,而它的右旋化合物却可能毫无价值,虽然实际上两者的化学分子是完全相同。

“现在你们可能明白了,为什么奈尔森的逆转要比我们最初预想的要严重的多。这并不仅是一个重新学习阅读的问题——想必而言这是个最微不足道的问题,事实上,他在吃饱喝足的同时却将因饥饿而死,因为他不再能够吸收食物中的某些分子了,就好像我们不能把左脚的靴子套在右脚上一样。

——亚瑟·克拉克短篇小说《技术故障》节选,朱丽 译

结论

所以,在数学上,左右颠倒是可以实现的。然而,由于物理的原因,实际中多半不会发生。最后,化学告诉我们,即便发生了,也不太可能正常地生活。在左和右里,大自然偏爱其中之一。或许,正如泡利所说,上帝是一个左撇子。

本文经授权转载自微信公众号“普林小虎队”(PUTigersJr)。

来源:普林小虎队

编辑:观山不易、yrLewis

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